Комплексные числа

При умножении комплексных чисел их модули умножаются, а аргументы складываются.

При делении – их модули делятся, а аргументы вычитаются.

При сложении одного и того же числа модули складываются, а угол остаётся неизменным.

Полезные теоремы

(1) Конечная группа 𝐺 является циклической ⇔ в 𝐺 существует элемент порядка |𝐺|.

(2) Элемент 𝑔 𝑘 является образующим в группе < 𝑔 > ⇔ 𝑘 и 𝑜𝑟𝑑𝑔 взаимно просты

Циклические группы одного порядка изоморфны.

Мультипликативная группа вычетов по модулю m (Z*m) состоит из чисел, взаимно простых с m.

xH никогда не является подгруппой. Только в том случае, если x = e.

Смежные классы

Теорема Лагранжа

Пусть G – группа, H – её подгруппа. Тогда:

1. |H| делит |G|
2. |G| = |H|*k, где k – количество смежных классов.

Следствия:

1. $\forall g \in G :ord(g) | ord(G)$
2. $\forall g \in G: g^{ord(G)} = e$. Для абсолютно любого элемента группы G.